Aquiles y la tortuga

Qué encontrarás en esta entrada?

• Presentación de la paradoja de Zenón: Aquiles y la tortuga.
• Solución de la misma.
• Simulación por OCTAVE/MATLAB. 

Hoy quería hablaros de Zenón de Elea y, en concreto, de una de sus paradojas más famosas: la de la carrera de Aquiles contra la tortuga. Esta paradoja se comenta muchas veces a nivel divulgativo pero, pese a mi formación en ciencias, nunca me la han explicado en un contexto académico como es debida y, a causa de ello, cuando me topé por primera vez con ella me ocasionó un gran desconcierto. Para todos aquellos que estén en mi situación, os invito a que me acompañéis a las entrañas de esta paradoja. 

Zenón fue un filósofo griego que vivió en el siglo V antes de Cristo. Él estaba convencido (entre otras cosas) de que el movimiento era una ilusión y quería demostrar por reducción al absurdo que nuestros sentidos nos engañaban. Para ello, creó una inquietante historia: una carrera entre Aquiles, el héroe griego que interpretó en su día Brad Pitt para la película Troya y... ¿una tortuga?

Brad Pitt mirando fíjamente a la tortuga

Efectivamente, para todos es obvio que Aquiles ganaría la carrera sin despeinarse, pero aquí Zenón introduce por primera vez en la historia (que se tenga constancia) un razonamiento propio del Cálculo Infinitesimal que nos dejará un poco KO. Zenón propone dar un poco de ventaja a la tortuga (¡qué menos!) y hace el siguiente razonamiento:

• Inicialmente, Aquiles está en la posición "0" y la tortuga en una posición más adelantada por su ventaja.

• Empieza la carrera y Aquiles llega hasta donde estaba la tortuga al principio pero, en ese tiempo que ha tardado, la tortuga ha avanzado una distancia igual a su velocidad (por pequeña que ésta sea) multiplicada por el tiempo que ha tardado Aquiles (que por veloz que sea, no tardará un tiempo nulo). Es decir, cuando Aquiles alcanza la posición con la que partía la tortuga, ésta ha avanzado un poquitín más.

Este argumento se puede repetir indefinidamente, por lo que la conclusión parece ser que Aquiles nunca alcanzará a la tortuga puesto que, cada vez que llega a su posición anterior, ésta habrá avanzado un poquitín de nada, pero suficiente para ganarle. 

Personalmente, a mi este razonamiento me producía una gran inquietud y es que me parece tremendamente razonable, pero no concuerda con lo que vemos. ¿No podemos fiarnos de análisis como el de Zenón que parecen tan lógicos? ¿Las matemáticas no funcionan? ¿Toda la física es mentira?

Bueno, realmente a las dos últimas preguntas no me atrevo a contestar, pero os puedo adelantar que Zenón no estaba equivocado y su razonamiento infinitesimal es correcto: la tortuga ganará infinitamente a Aquiles. Lo que está mal es la conclusión: no lo hará eternamente, y finalmente Aquiles tomará ventaja.

¿Cómo conciliar ambas cosas? Pues muy fácil: el "engaño" está en la forma en la que se acerca Aquiles a la tortuga: estamos suponiendo en cada interacción que la tortuga está siempre un poco adelantada y calculamos dónde estará la tortuga en el momento en que Aquiles haya alcanzado la posición anterior que tenía esto. Efectivamente, de esa manera nos sale que en cada interacción la tortuga sacará una nueva ventaja, sin embargo, ésta será cada vez más pequeña y el tiempo en el que Aquiles la alcanza, cada vez más corto. Es tan corto este intervalo de tiempo que a cada interacción avanza cada vez menos sin llegar nunca a sobrepasar el tiempo de intercepción entre ambos contrincantes.

Es decir, por la forma en la que se formula el problema estamos acercándonos infinitamente, pero sin sobrepasarlo, al instante en que Aquiles alcanza a la tortuga, momento a partir del cual Aquiles ganaría la carrera. En los infinitamente pequeños instantes anteriores a ese momento la tortuga puede estar orgullosa de estar ganando infinitamente a Aquiles. Sin embargo, no lo hará eternamente y la demostración (como apunta por ejemplo Xataka Ciencia) vino de manos de Leibniz, ya que con el Cálculo Infinitesimal se comprobó que existen series de infinitos términos que converge a un resultado finito.

En la Asociación Española de Comunicación Científica podéis encontrar un cálculo detallado donde se demuestra que la serie de los intervalos de tiempo cada vez más pequeños que necesita Aquiles para alcanzar a la tortuga convergen a un número finito, por lo que en un tiempo finito (el tiempo de intercepción), Aquiles sobrepasa a la tortuga.

Ahora vamos a jugar un poco con Octave (podéis descargaros el script de aquí). Supongamos que Aquiles alcanzó el récord de Usain Bolt, corriendo a unos 45 Km/h. Su contrincante, no podría ser menos, por lo que escogeremos a Bertie, la Usain Bolt de las tortugas, con sus casi 5 metros y medio en 20 segundos y vamos a darle una ventaja de 10 metros.

(Pincha para agrandar)

¡Vaya!, contra todo pronóstico, parece que esta vez vuelve a ganar Aquiles. De hecho la veloz Bertie a penas ha recorrido 23 cm cuando Aquiles le da una buena pasada. De las gráficas de arriba, la segunda muestra este acercamiento "al estilo Zenón", y cómo converge cerca de los 10,229 m (las cruces rojas, que marcan la posición de Aquiles, y las azules, que marcan la de la tortuga, cada vez están más cerca entre sí y más cerca al punto de intercepción, pero sin sobrepasarlo).

La tabla de tiempos es clara: Aquiles gana pasados los 0,818313 s (a los 10,229 m). Sin embargo, antes de ese momento, es cierto que la tortuga está ganando infinitamente (llegando un momento en el que la diferencia entre ambos es tan pequeña que es indistinguible de cero para el ordenador):

Espero que con esto haya arrojado algo de luz al problema y tranquilizado las inquietudes de los que sentían tambalearse los pilares de la ciencia con estas afirmaciones.